1. Binomické rozdělení. Ať se vyrábí п testy a pravděpodobnost výskytu události А v každém testu je р a nezávisí na výsledku jiných studií (nezávislých studií). Vzhledem k tomu, pravděpodobnost výskytu události А v jednom testu je R, pak se pravděpodobnost jeho nevyskytnutí rovná q = 1 – věst.
Pojďme najít pravděpodobnost, že п zkušební akce А přijde т jednou (m £ P).
Nechte událost А přišel jako první т zkoušky т krát a neobjevily se ve všech následujících testech. Tuto složitou událost lze zapsat jako produkt:
Celkový počet komplexních událostí, ve kterých událost А přichází т krát, rovný počtu kombinací п prvky podle т Prvky. V tomto případě je pravděpodobnost každé komplexní události rovna: p t qn -t . Protože tyto komplexní události jsou neslučitelné, pravděpodobnost jejich součtu se rovná součtu jejich pravděpodobností. Takže když Рп(t) existuje možnost, že dojde k události Na jednou v п testy tedy
Zavolá se vzorec (9.15). Bernoulliho vzorec.
Příklad 9.12. Nechte klíčivost semen této rostliny 90%. Najděte pravděpodobnost, že ze čtyř zasetých semen vyklíčí: a) tři; b) alespoň tři.
Řešení a) V tomto případě n = 4, т = 3, p = 0,9, q= 1 -r = 0,1. Aplikujeme Bernoulliho vzorec (9.15):
b) Požadovaná událost А spočívá v tom, že ze čtyř semen vyklíčí buď tři nebo čtyři. Podle věty o sčítání pravděpodobnosti P(A) = P 4(3)+ Р 4(4). Ale Р 4(4) = (0,9)4 = 0,6561. Proto P(A) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.
Zvažte znovu n nezávislých studií, v každém z nich dojde k události А s pravděpodobností věst. Označit podle X náhodná proměnná rovna počtu výskytů události А в п testy.
Je jasné, že událost А nemusí nastat vůbec, může se vyskytnout jednou, dvakrát atp. a konečně přijít п jednou. Proto možné hodnoty množství А budou čísla 0, 1, 2. п – 1, § Pomocí Bernoulliho vzorce můžete najít pravděpodobnosti těchto hodnot:
Рп( 1 ) = р qn -1
Získaná data zapíšeme ve formě distribuční tabulky:
| X | . | т | . | n | ||
| р | qn | p qn -1 | . | p t qn -m | . | p n |
Sestrojený zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X volal zákon binomického rozdělení.
Pojďme najít M(X). Je zřejmé, že Х i – počet výskytů události А v každém pokusu je náhodná proměnná s následujícím rozdělením:
| X i | ||
| р i | q | р |
Tak M(X i ) = 0 × q+ 1 × p = p. Ale od X = Х 1 +. +X npak M(X)=np.
Hledejme dále D(X) и s(X). Od hodnoty X i 2 má distribuci
| X i 2 | 0 2 | 1 2 |
| р i |
že M(X i 2 ) = 0 2× q+ 1 2× p = p. Tak D(X i ) = M(X i 2 ) – М 2 (X i ) = р – p 2 = р (1- p)= pq.
Konečně kvůli nezávislosti množství Х 1, X2. Xn,
D(X) = D(X 1 ) + D(X 2 ) + . + D(X n ) = npq.
Příklad 9.13. Náhodná hodnota X definován jako počet erbů, které vypadly v důsledku 100 hodů mincí. Vypočítejte matematické očekávání, rozptyl a směrodatnou odchylku X.
Řešení. Pravděpodobnost, že se erb objeví při každém hodu mincí p= ½ Proto pravděpodobnost neobjevení erbu q u1d XNUMX – ½ = ½. Náhodná hodnota X má binomické rozdělení at n = 100 a p = ½. Proto
M(X)=np = 100 x 50/XNUMX = XNUMX; D(X) = npq =100×½×½=25; s(X) ===5.
Příklad 9.14. Předpokládejme, že predátor má pravděpodobnost 0,4, že uloví jedinou kořist při každém setkání s kořistí. Jaký je předpokládaný počet obětí zachycených při 20 kolizích?
Řešení. Toto je příklad binomického rozdělení s n = 20 a p= 0,4. Očekávaný počet je M(X) – pr uXNUMXd 20×0,4 = 8.
Líbil se vám článek? Přidejte si ji do záložek (CTRL+D) a nezapomeňte ji sdílet se svými přáteli:
